|
На бумаге пока не опубликовано. Жду предложений. Цикл статей «Кусочки паззла». Выпуск 2. Неожиданное обоснование математики
Философия потому и важна, что она имеет какое-то отношение не просто к нашим представлениям о мире, а
глубокую связь с самим фактом существования человека.
Человеку свойственно заблуждаться. И поэтому нет ничего удивительного в том, что человеку свойственно сомневаться. И заблуждаться, и сомневаться мы можем в чём угодно – в самих себе, в окружающих, в том, что видим, в том, что слышим, в мудрости мудрецов, в святости святых отцов. Не заблуждаемся и, соответственно, не сомневаемся мы лишь в одном – в том знании, которое нам даёт математика. Взойдёт ли завтра Солнце – скорее всего да, но возможно всякое. Но квадрат гипотенузы всегда останется равным сумме квадратов катетов, даже если вся Вселенная канет в тартарары. Откуда такая уверенность? Учительница сказала? Мама велела? В красивой толстой книжке написано? Удивительно получается. Ни один человек не может чётко и внятно объяснить, изучением чего занимается математика, но зато абсолютно все ей безоговорочно доверяют. Такая безоговорочная уверенность претит духу науки, и поэтому в конце позапрошлого века возникло очень забавное направление исследований – поиск оснований математики. В этом направлении много чего сделано (считайте, что я просто пропустил следующие двести страниц краткого описания истории вопроса), но окончательного, устраивающего всех ответа до сих пор не получено. Обоснование математики можно искать в самой математике. Можно искать его в теологии. Можно искать его на дне стакана. Я предлагаю искать его в зеркале. Давайте для начала учтём, что математика создана не глубоководными рыбами, не плотоядными грибами, не марсианскими кристаллами, и не венерианскими ураганами. Как это ни удивительно звучит, но почему-то никто не обратил особого внимания на то, что математика создана и развита нами, людьми. Что в нас, людях, есть такое особенное, что, во-первых, натолкнуло на мысль о том, что рассуждения об абстрактных объектах и формах – это не такое уж бессмысленное времяпровождение, а, во-вторых, смогло поддержать неослабевающий интерес на протяжении многих тысячелетий? О математике в сегодняшнем её состоянии можно сказать пять вещей:
Как так получилось, что едва спустившись с пальмы, едва разведя костёр, наши далёкие предки заинтересовались свойствами вещей, которых не существует? Почему этот интерес не ослабевает до сих пор? Попробуем исходить из того, что (пусть это звучит тавтологически) человек интересуется только тем, интересоваться чем свойственно его природе. Есть две вещи, которые были всегда интересны людям, интересны сейчас и будут интересны впредь. Две вещи, которые всегда берут за душу. Две вещи, без которых не обходится ни одно хорошее художественное произведение. Эти вещи – любовь и справедливость. Я не знаю науку, которая изучает абсолютную любовь, но знаю науку, которая изучает абсолютную справедливость. Это математика. Справедливость – это тот цемент, который скрепляет общество. Убери справедливость, и в следующую же секунду человечество превратится в шесть с половиной миллиардов обезьян-одиночек. Уважаемые дамы и господа, мы – животные (мы точно не растения, не грибы и не микроорганизмы). Всё величие человеческого духа, вся наука, вся техника, всё искусство, вся мораль – всё это становится частью нас самих, когда мы становимся частью человеческого общества. А частью общества мы соглашаемся стать только тогда, когда мы считаем, что то, что мы должны отдать другим, мы должны отдать по справедливости. И за труды и жертвы свои мы получим справедливое вознаграждение. Математика – наука, изучающая абсолютную справедливость. В своей глубинной основе математика изучает не числа, не отрезки с окружностями, не интегралы с производными, не решение дифференциальных уравнений. Предмет математики – такая сугубо человеческая субстанция как справедливость. Абсолютная справедливость. Обратите, пожалуйста, внимание на способ, при помощи которого производится математическое знание. Берём набор утверждений, признанных справедливыми (аксиомы, определения), комбинируем их способами, справедливость которых признана (правила математического вывода, техники доказательства), и получаем утверждения, справедливость которых оказывается неоспоримой (леммы, теоремы). Работа математика, доказывающего теорему, очень сильно напоминает работу адвоката на судебном процессе. С тем исключением, что противоборствующей стороной является не прокурор, которого можно обмануть, запутать, заболтать, задавить эмоциями. Оппонентом математика является специальный воображаемый гомункл, который обладает полным набором качеств, присущих дьяволу. Он бесконечно умён, неумолим, коварен, зловреден. Единственный способ, которым можно одолеть оппонента-дьявола – не оставить ему ни одной лазейки. У меня есть подозрение, что математика и возникла как вспомогательное средство, используемое при разрешении споров хозяйствующих субъектов. Древние греки говорили, что в споре рождается истина. Наиболее надёжная истина рождается в наиболее ожесточённом споре – споре очень сильно заинтересованных в результате сторон. Именно требование абсолютной справедливости в основе любого математического знания привело к тому, что сейчас математика является, пожалуй, единственной наукой, на которую не распространяется действие зловредного парадокса Геттиера. Того самого, который легко и изящно иллюстрирует ущербность любого знания, основанного на эмпирических фактах. Оспорить справедливость математических утверждений можно двумя способами. Можно отказать в корректности аксиомам, лежащим в основании теории и можно оспорить используемые способы доказательства. Но и в том и в другом случае утверждение всё равно не опровергается, а создаётся альтернативная математическая теория, применимая там, где не применима первая. Например, известно, что такая стройная и понятная наука как Евклидова геометрия подходит прекрасно для чего угодно, кроме своего первоначального предназначения – измерения земли. Из-за того, что не все взятые за основу аксиомы применимы к построениям на «плоскости», реально являющейся поверхностью шара, сумма углов треугольника Москва-Вашингтон-Йоханнесбург получается больше 180 градусов. То, каким способом человек мыслит, оставшись наедине с самим собой, весьма далеко от чего-то, что хотя бы с натяжкой можно было бы назвать логичным, стройным, непротиворечивым. Мы все довольно сумбурные создания, раздираемые противоречивыми желаниями и потребностями. Погрешить против элементарной логики в обычном, житейском размышлении – в порядке вещей. Принять желаемое за действительное, не обращая внимания на всю его абсурдность – это у нас запросто. Но когда сходятся двое, и берутся делить какой-либо ресурс не силой кулаков, зубов и когтей, а по справедливости, то весь сумбур и все хотелки нужно свести к общему знаменателю, который у нас и называется логикой. Логики как таковой в этом мире нет. Числа в виде отдельных сущностей также, похоже, отсутствуют. Земля вокруг Солнца летит по эллиптической орбите, но такой штуки как эллипс, в природе не существует. Это всё появилось исключительно потому, что мы с вами – стадные животные, сила которых – не в слабых руках и ногах, не в нежной ранимой коже, не в подслеповатых глазах и не в глуховатых ушах, а в том, что мы можем образовывать сколь угодно большие сообщества, способные действовать как единое целое. Мы часто сетуем, что в обществе нашем очень мало справедливости. Но это, на самом деле, совсем не так. Справедливости очень много, но вся наша жизнь до такой степени от неё зависима, что мельчайшие проблемы в этом тонком механизме воспринимаются нами очень чутко и болезненно. Если математика в своей основе имеет столь странные сугубо гуманитарные корни, то почему она смогла стать надёжной основой естественных наук и материальных производств? Причина кроется в том, что математика даёт нам некоторый весьма богатый набор простых и полезных «лекал», которые можно прикладывать к чему угодно. Типичное естественнонаучное открытие заключается в том, что мы пытаемся в нашем широчайшем арсенале математических методов отыскать такой, который наилучшим образом подходит для описания изучаемого явления. Если подходящего аппарата не оказывается, то тоже ничего страшного. Появляется хороший повод выдумать ещё один раздел математики (как, например, матанализ был создан для удовлетворения потребностей развивающейся механики). В математике много разделов. Бесконечное количество формул. Если применение какой-то формулы к какому-то явлению плохо работает, то это не значит, что формула плохая. Это значит, что мы применили не ту формулу. Если результат сложения двух чисел даёт неверный ответ, то из этого не следует, что сложение должно по-разному работать в разных ситуациях. Может быть, просто нам следовало в данном конкретном случае применить не сложение, а, например, умножение? Тем не менее, страшно. Вдруг та основа, на которой мы строим свою цивилизацию, гроша выеденного не стоит? Мы легко оперируем числами, применяем расчёты везде, где можно, а порой и там, где нельзя. Что такое оно, это самое число? Сейчас принято выводить понятие «число» из понятия «множество». Хорошо, но что такое множество? Откуда оно взялось? Ответ на этот вопрос также предлагаю искать в зеркале. Множеств в природе не существует. Они существуют только в нашем восприятии и в нашем воображении. Причина того, что мы легко, однозначно и чётко понимаем, что такое множество и что с ним можно делать, заключается в том, что операция обобщения (она же операция фильтрации, она же операция выявления зависимостей, она же распознавание образов) – одна из тех базовых операций, на которых построено наше мышление и на микроуровне (работа нейрона), и на макроуровне (психология). Заложенная в нашу конструкцию способность оперировать понятием «множество» можно назвать вторым (первым было потребность в справедливости) природным основанием математики. За то, что наш способ восприятия и, как следствие, базовая математическая категория не сильно противоречит внутренней механике реального мира, мы можем сказать спасибо только матушке-эволюции, выкинувшей в небытие всех, кто был неадекватен реальности. Однако не нужно расслабляться. То, что применимо и полезно в тех масштабах явлений, в которых протекает наша повседневная жизнь, не обязано оставаться таким же применимым и полезным для описания явлений, потребность изучения которых ни разу до сих пор в эволюции не возникла и, следовательно, в нашу конструкцию не заложена. Эйнштейн говорил, что самое непостижимое в этом мире – это то, что он постижим. На самом деле в этом нет ничего удивительного. Мы способны узнать лишь то, что нам уже наполовину известно и способны понять лишь то, к пониманию чего мы хоть как-то приспособлены. И всё было бы хорошо, если бы мы никогда не втыкались со всего размаху в пределы нашего так называемого здравого смысла. Физика воткнулась в этот предел в начале XX века, и в результате ей пришлось потерять очевидность и перейти в область чистой абстракции. Физике, науке об объективной реальности, пришлось признать, что довольно часто случается, что объективная реальность временно не существует. Математика, сама являющаяся чистой абстракцией, тоже может (скорее всего, не может, а должна) столкнуться с аналогичным кризисом. «Первый звоночек» прозвенел, когда был найден парадокс брадобрея – первый предел возможностей теории множеств. В принципе, инцидент удалось замять, постановив, что нельзя рассматривать множества, являющиеся элементами самих себя. Возможно, этот кризис окажется и последним, инициированным изнутри самой математики. Кризис – всегда катастрофа, но не всегда беда. Хуже, когда развитие идёт гладко, без потрясений. То есть, как положено, рождается что-то новое, проходит бурную молодость (фаза интенсивного роста), проходит период зрелости (экстенсивный рост), увядает, а затем естественным образом умирает. Кризис – это всегда перерождение. Маленькая смерть, после которой чаще всего случается маленькое рождение. Единственный способ вернуть молодость и остроту чувств. Может быть, они и не нужны, эти страшные гадкие кризисы? Может быть, всё и так почти шоколадно? Может быть, есть ряд сугубо частных нерешённых проблем, смысл которых понятен только специалистам, а народнохозяйственное значение не всегда понятно и им? Как бы ни так. Попробую намекнуть, что простор для развития есть, и этот простор совершенно необъятен. Не существует математического аппарата, пригодного для моделирования объектов и явлений, изучаемых следующими науками: психология, социология, экономика, политология, экология, биология, медицина. Единственный математический аппарат, доступный для использования этими науками – статистика. Но применение статистики – это всегда «отход на заранее подготовленные позиции». Результатом статистического исследования никогда не становится математическая модель явления. Результат статистического исследования – всего лишь пища для дальнейших размышлений. Статистикой можно готовить материал для выработки математических моделей (тех самых «лекал», о которых говорилось выше). Статистикой хорошо обогащать руду, но конечный продукт ею изготовить невозможно. Хуже всего дела обстоят в кибернетике. Кибернетика изучает объекты, обладающие сложной внутренней структурой и целенаправленным поведением. Статистика к объектам, изучаемым кибернетикой, неприменима вообще. Если объект изучения примитивен (простенький регулятор с обратной связью), то для него можно построить «честную» математическую модель. Но при увеличении сложности объекта сложность модели растёт совершенно немыслимо. Остаётся только… эх, хотелось бы привычным образом «окопаться» в статистике, но нельзя. Статистика неприменима. Итого в сухом остатке: приемлемого математического аппарата для описания процессов управления (и в живом мире, и в технике, и в обществе) не существует вообще. Ни в каком виде. Результатом этого прискорбного обстоятельства явилось то, что наука об управлении превратилась в сборник шаманских рецептов, эффективность которых доказывается при помощи «историй успеха», сочиняемых в маркетинговых отделах консалтинговых компаний. Если вдруг кому-то захочется создать математику, которая будет полезна в кибернетике (а также в психологии, социологии, экономике и других полезных науках) в той же степени, в какой существующая математика полезна в физике, то ему неизбежно придётся обратиться к основам. А в основе, как мы помним, две вещи – стремление к справедливости и восприятие мира через операцию обобщения. При создании «математики 2.0» придётся либо смягчить требование абсолютной справедливости, либо изобрести нечеловеческую аксиоматику, из которой, возможно, теория множеств будет следовать как один из частных случаев. Смягчать требование абсолютной справедливости нельзя. Как только справедливость перестанет быть абсолютной, математика перестанет быть математикой. Станет чем-то другим, но уже не тем набором абсолютно надёжных инструментов, которым она является сейчас. Если отказаться от абсолютной справедливости в математике, парадокс Геттиера обоснуется в науке повсеместно. Получается, что единственный достойный вариант «возвращения к истокам» – попытаться обойти ограничения, присущие человеческому восприятию. Как это сделать – непонятно. Трудно? Очень! Да это почти немыслимо – создать раздел математики, в которой, например, в принципе будет отсутствовать понятие меры. Но кто обещал, что будет легко? Обещать можно лишь то, что будет интересно. © Macляев Aлeкcaндp, 2010
mailto: maslyaew@yandex.ru mailto: maslyaev@gmail.com waveto: maslyaev@googlewave.com Другие статьи цикла «Кусочки паззла»: Выпуск 1 - декабрь 2009 - Как найти «информацию»
Выпуск 3 - апрель 2010 - Основы нечтологии
Выпуск 4 - ноябрь 2010 - Простое доказательство наличия самосознания у животных
Выпуск 5 - июнь 2011 - Выборы глазами инженера
[ < Домашняя страница ] |